Aplicación de la Derivada:

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21.

1. Función:

Una Función es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento del dominio le corresponde un único elemento del codominio.

 En este caso, una función es derivable en un conjunto si es derivable en todos los puntos de dicho conjunto, es decir, si una función (f, D) es derivable en un subconjunto D' de su dominio D, es posible definir una nueva función que asocia a cada número real D' la derivada de  f  en ese punto. 

Esto se denota con la siguiente fórmula:

                                           

La función así definida se llama Función Derivada o, simplemente, derivada de f. Se denota por f ' o también por Df(x).

En el video a continuación se pueden observar una serie de ejemplos de la función derivada.

2: Dominio:

Si una función (f,D) es derivable en un subconjunto D´ de su dominio D, es posible definir una nueva función que asocia a cada número real de D´ la derivada de f en ese punto:

El Dominio, conjunto de definición o conjunto de partida de una función, es el conjunto X de todos los elementos x para los cuales la función f asocia algún y perteneciente al conjunto de llegada, llamado Codominio.

Por su parte el dominio de derivabilidad está constituido por el conjunto de puntos donde la función es derivable, es decir, decimos que una función es derivable en un intervalo abierto (x1, x2) de su dominio, si lo es en cada uno de sus puntos.

Es importante saber que el dominio de derivabilidad de una función puede no coincidir con el dominio de la función. O dicho de otra forma, el dominio de la función f(x) puede no coincidir con el dominio de la función derivada f '(x).

3.Rango:

El Rango de una función es el conjunto de todos los valores de salida de dicha función. Por ejemplo: Si a la función f (x)=x2 se le dan los valores {1,2,3...} entonces el rango será: {1,4,9...}

En el caso de la función derivada el rango de la misma se evaluará dentro de la mismo función, antes de derivarla. En el siguiente ejemplo, se puede observar lo que implica el rango de una función.

 4. Puntos Críticos:

        Un número x del dominio de f se llama número crítico o punto crítico de f, si f ' (x) = 0.  

5.Función Cóncava:

En matemática, una función es cóncava cuando dados dos puntos cualesquiera en el dominio de la función, el segmento que los une queda por debajo de la curva. Presenta su concavidad hacia abajo.1 Una función cóncava es lo opuesto de una función convexa.

Definición

Formalmente, una función real f definida en un intervalo (o en cualquier conjunto convexo C de algún espacio vectorial) se dice que es cóncava, si para dos puntos x e y cualesquiera definidas en su dominio C, y para cualquier t en [0,1], se cumple

f(tx+(1-t)y)\geq t f(x)+(1-t)f(y).

Además, f(x) es cóncavo en [a, b] si y sólo si la función −f(x) es convexa en [a, b].

Una función que es cóncava es a menudo también llamada cóncava hacia abajo, mientras que una función convexa es llamada cóncava hacia arriba.

Una función es estrictamente cóncava si

f(tx + (1-t)y) > t f(x) + (1-t)f(y)\,

para cualquier t en (0,1) y x ≠ y.

Una función continua en C es cóncava si y sólo si

f\left( \frac{x+y}2 \right) \ge \frac{f(x) + f(y)}2 .

para cualquier x e y en C.

Una función diferenciable f es cóncava en un intervalo si su derivada f ′ es monótonamente decreciente en ese intervalo: una función cóncava posee una pendiente negativa o decreciente. (entendiendo por "decreciente" aquí a que es "no-creciente", en lugar de "estrictamente decreciente"; es decir, se permite la pendiente cero).

6. Función creciente y Decreciente: 

FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE

· Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1  y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que

 f( x1 ) < f( x2 ).

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).

· Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1  y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ).

Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.

FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO

· Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

· Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >.

Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función

 Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x2 en los puntos

Resolución:

· La función y = x2 es estrictamente creciente en el intervalo [0, +¥) puesto que si Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-¥, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x3 < x4 Þ x32 > x42  (por ejemplo, -7 < -3 y (-7)2 > (-3)2 ). Es estrictamente decreciente en x = 0.

· Nótese cómo en x = 0 la función no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este punto es decreciente y a la derecha es creciente.

Como pone de manifiesto este ejemplo, toda función creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo.

Recíprocamente, toda función estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el intervalo.